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Kolumne Unstatistik des Monats Scrap Car: Statistik vom Auto zum IQ der Fahrer
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Martins Menetekel Wir sind noch nicht in einer stabilen Phase!
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Wir hatten gesehen, dass Wachstumsprozesse in erster Näherung durch die Gleichung
M’(t) = kM(t) beschrieben werden, k > 0, er wächst, k < 0, er fällt exponentiell (Fallen = negatives Wachsen = exp(k) < 1). Es ist M(t) = Ab^t mit A = M(0) und b = exp(k).
Diese erste Näherung wird verbessert durch das Korrekturglied (1-LM(t)), L ist ein Limitierungsfaktor. Ohne L > 0 würde das Wachstum nie an eine obere Schranke kommen. Mit L > 0 ist S = 1/L diese Schranke.
k und L werden statistisch aus den vielen Einzelprozessen gebildet. k mag in ländlicher Umgebung kleiner sein als in Ballungsgebieten. Wo die ärztliche Versorgung schlechter ist, ist L kleiner und das quasi-exponentielle Wachstum dauert länger. Das Gesetz der großen Zahlen sagt aus, dass je mehr ähnliche Prozesse es gibt, desto besser und genauer sind k und S zu bestimmen, wenn sich der Prozess nicht in seiner Struktur ändert. Falls der Prozess stabil ist, muss ihn eine Lösung M(t)
Wir hatten gesehen, dass die Zeitreihe von 2ln(N(t)) -ln(N’(t)) genau dort, wo sich der Prozess so verhält, eine Gerade bildet. Aus der Approximation D + kt dieser Geraden bekommen wir k und eine Integrationskonstante C = D + ln(k) und es ist b = exp(k) und A = exp(C) . A und b benötigen wir für die Lösung M(t).
M(t) = AS/(A+S/b^t). Es ist M(o) = AS/(A+S) und limes M(t) = AS/A = S wenn t immer größer wird.
S bekommen wir aus der zweiten Geraden ln(N(t) - ln(1-N(t)/S) = C + kt. Die Zeitreihe ln(N(t) - ln(1-N(t)/S) ist nur mit einem einzigen passenden S eine Gerade, dort, wo Verhulst herrscht.
Das möchte ich an einem Beispiel erläutern:
In den 8 Wochen vom 16. April bis 11. Juni war die erste Zeitreihe eine (bis auf etwas Schlängeln) schöne Gerade. Aber auch ln(N’(t) alleine war schon eine abfallende Gerade. Das war die Phase drei!
Dann haben wir zwei Methoden der Annäherung, Verhulst mit einem S und
ln(N’(t)) = F + gt, also N’(t) = exp(F)h^t = Bh^t .
g ist negativ und damit exp(g) < 1, N’(t) fällt wie eine Zerfallreihe eines radioaktiven Stoffes.
N(t) ist eine Stammfunktion von N’(t), die ich schreiben kann als B/ln(h)g^t . Diese Kurve ist immer negativ im 4. Quadranten, was nun? N(t) ist schließlich positiv. Hier hilft die Integrationskonstante, die ich gleich S nenne. Es ist unser N(t) = S + (B/g)g^t . Der letzte Term geht gegen 0, wenn t sehr groß wird, also ist S die obere Schranke, wie gewünscht.
So sehen beide Lösungen aus:
Links ist die Verhulstapproximation mit S = 185.076 und rechts nutzen wir die Linearität von ln(N’(t) aus. Hierbei ist S = 193.415 . Man kann sehen, dass Verhulst über eine längeren Zeitraum eine sehr gute Approximation ist. Beide Approximativen scheitern nach der Beendigung der strikten Einschränkungen zum Beispiel der Arbeitsstätten und Gastronomie. Es besteht kein Zweifel, dass die jetzige Lage zu einer Eskalation führen kann. Andere Länder machen es uns vor. Die mit Hilfe von N’(t) alleine gewonnenen Lösung ist nicht so gut, da sie eben kein L = 1/S berücksichtigt, was bei N(t) << S noch nicht zu empfehlen ist.
Zur aktuellen Lage:
Ich bringe die neueste Approximation in dieser Findungsphase, wo noch immer Viren von außen in den Prozess eingeschleust werden und die Lockerungen ständig auf Brennpunkte der Infektion geprüft werden müssen:
Das sind die beiden Geraden oben 2ln(N(t) - ln(n’(t)) unterbrochen und unten ln(N(t)) - ln(1-N(t)/S) unterbrochen als Zeitreihen mit den beiden Geraden als Approximation.
Lösung:
Jetziger Stand einer Prognose: In Deutschland werden die Fallzahlen bis knapp unter 320.000 steigen. Ich werde diese Referenzkurve alle 7 Tage aktualisieren.
Über den Autor
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.
Hier geht es zu den bisherigen Beiträgen von Martin Lindner:
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