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Martins Menetekel Sysiphos oder Hoffnungsschimmer?
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Wenn die (kumulierten) Fallzahlen einer Pandemie in Kaskaden steigen, ist eine Annäherung durch eine Wachstumsfunktion mit einem einzigen Limitierungsfaktor L = 1/S nicht möglich. Man muss abwarten, bis die Zahlen entweder gleichmäßig steigen oder fallen. So habe ich im Oktober eine Approximation versucht, die durch die folgende Welle im November kaputt gemacht wurde, ein zweiter Ansatz scheiterte im Dezember, siehe die Grafik der täglichen Zusätze in meinem letzten Beitrag am Mittwoch. Seit Anfang dieses Jahres gibt es eine neue Chance. Es ging einige Tage hoch und danach gleichmäßig runter.
Geglättete tägliche Zuwächse:
Falls ich nicht zur Kategorie des Sysiphos gehöre und es nicht zu einem erneuten Wachsen kommt, sollte ab Januar eine neue Referenzkurve Information über die weitere Entwicklung geben können. Die Chancen dafür stehen fifty-fifty. Die aggressiveren Mutanten und der schleppendeAnlauf der Impfungen sprechen eher für den unermüdlichen aber ergebnislosen Sysiphos, der immer wieder einen Stein auf einen Berg wälzt, der ihm aber immer wieder aus den Händen glitscht und wieder runterrollt, der härtere Lockdown, die Impfungen und die starke Abschottung gegen Einträge aus dem Ausland nähren den Hoffnungsschimmer.
Lasst uns eine Annäherung an den Verlauf der Fallzahlen versuchen und daraus eine Referenzkurve gewinnen:
So sieht das Ergebnis aus:
Optimiert für den Zeitraum 01. bis 21. Januar 2021.
Blau sind die Fallzahlen, rot ist Verhulst, schön als langgezogenes S zu sehen.
So ging ich vor:
- Schritt: Die erste Januarwoche lieferte mir N’(t) als Exponentialfunktion, dazu nähert man ln(N’(t)) durch eine Gerade an, das ist Standard.
- Schritt: Eine Stammfunktion liefert das Integral, auch Standard, aber jetzt kommt es:
- Schritt: Durch Anpassung an die reellen Fallzahlen gewinnt man die Integrationskonstante I, das ist der Riesensockel aller kumulierten Fallzahlen, der nichts mehr mit dem jetzigen Wachstumsprozess zu tun hat.
Zur Erinnerung: Wir benötigen N(t) und N’(t), um die Verhulstgerade 2ln(N(t) - ln(N’(t) anzunähern, daraus gewinnen wir A, S* und b. Nur für dieses N gilt die Annäherung M*(t) = AS*/(A + S*/(b^t)) mit S* = 1/L nur für diesen Prozess.
- Schritt: Bilde die neuen Fallzahlen N(t) = F(t) - I
- Schritt: N(t) wird ab Anfang Januar supergut durch Verhulst approximiert: N(t) = F(t) - I in etwa = M*(t)
- Schritt: M(t) = M*(t) + I nähert unsere originellen Fallzahlen an und ist die neue Referenzkurve, Heureka!
In der oberen Grafik ist S* = 1.061.159 und I = 1.297.859 und damit wagen wir einen Ausblick:
Eine mögliche obere Schranke der Pandemie in Deutschland liegt bei dem so gefunden Wert S = I + S* = 2.359.018
Das Modell zeigt weiter, dass der so sehnsüchtig erwartete Wendepunkt am 08. Januar liegt, da waren die Zuwächse am höchsten.
Etwas modifizierte Abschätzungen liefern 2.366.168 und 2.401.577, wenn man ausnutzt, dass am Tag des Wendepunktes F(t) - I genau die Hälfte von S* sein muss.
Wer nicht wagt, der nicht gewinnt: Prognose: Wenn sich der Prozess nicht zu stark ändert, wird die obere Schranke bei 2,4 Millionen Infizierten liegen. Durch AHA, Reiseeinschränkungen und Impfung sollte sie sogar darunter bleiben. der heutige Wert liegt bei 2.194.152 ungeglättet.
Jetzt kommt der Wermutstropfen:
Ich zeige die zweite Ableitung der Fallzahlen (blau), eine Superglättung (dünn orange) dieser Zeitreihe und die zweite Ableitung der Verhulst-Funktion (dick rot). Gemeinsam ist ihnen eigentlich nur der Nulldurchgang um den 07. - 08. Januar.
Obere Grafik zeigt, dass der Prozess noch lange nicht stabil läuft. Aber es wird sich lohnen, diese Grafik für einige Wochen fortzuschreiben.
Dazu werden wir die Parameter S*, A und b von Verhulst und I konstant halten.
Um es zu betonen:
Eigentlich ist die derzeitige Periode zu kurz, um echte Prognosekurven zu entwickeln, der Prozess ist noch nicht in der Phase, wo die zweite Ableitung sich asymptotisch von unten der Zeitachse nähert, wie wir oben sehen. Die superglatte dünne orangene Linie kann auch wieder positiv werden, wenn man sie schräg nach oben rechts verlängert. Für eine Beurteilung, ob die Limitierungsmaßnahmen greifen und wir die Pandemie in den Griff kriegen, sind aber unsere Überlegungen und die Referenzkurve sehr wertvoll. Ich bin selbst gespannt.
/mvw
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