Martins Menetekel Rückblick, Status und Ausblick

Letzte Woche war ich unter Umständen zu vorsichtig, als ich annahm, dass unter der Wirkung der Impfaktionen nur noch Referenzkurven möglich sind, die der Pandemie immer hinterherhinken. Es sollte folgendes passieren: Im eingeschwungenen Zustand wird durch die steigende Zahl der Immunisierten R, der Reproduktionsfaktor, immer kleiner und damit verringert sich die obere Schranke S praktisch täglich.

Folgendes ist möglich: Die Verhulst-Kurven-Annäherung erkennt innerhalb weniger Wochen das kontinuierliche Kleinerwerden von R und damit der Zuwächse pro Tag und passt S dementsprechend von selbst an. Unsere Methode der besten Approximation ist ein Modell des gesamten Prozesses inklusive aller Limitierungsmaßnahmen.

Das ist ein entscheidender Vorteil gegenüber der Betrachtung des reinen Reproduktionsfaktors.

Annahme ich kenne zum Tag T diesen Faktor R und weiß, dass es 20.000 Zuwächse an Infizierten gab.

Dann gilt: In 4 Tagen betragen die Zuwächse 20.000*R, in weiteren 4 Tagen 20.000* R² , und so weiter. In 4n Tagen sind es 20.000*Rⁿ . Diese Summe kann man ausrechnen:

1 + R + R²  + R³  + R⁴  + +   + Rⁿ  = (1 - R⁽ⁿ⁺¹⁾ )/(1-R) , mit 20.000 malgenommen, ist es die Summe aller Infizierten in 4n Tagen.

Beweis, nur für die Interessierten:

Es sei                     x = 1 + R + R²  + R³  + R⁴  + +   + Rⁿ

Dann ist              R*x =       R + R²  + R³  + R⁴  + +   + Rⁿ  + R⁽ⁿ⁺¹⁾

                     x - R*x = 1 + 0  + 0                            + 0    - R⁽ⁿ⁺¹⁾ 

und wenn ich x ausklammere           

(1 - R)*x    = 1 - R⁽ⁿ⁺¹⁾ , was zu beweisen war.

Ist R >= 1, wird diese Summe immer größer, sehr schlecht.

Umgekehrt: Sei R = ½ = 0,5, dann strebt 0,5ⁿ  gegen 0 und die Summe hat den endlichen Wert 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + + +   = 1/(1-0,5) = 1/0,5 = 2 . Das kann man gut an den Folgen

1          1+0,5=1,5       1,5+0,25=1,75 1,75+0,125=1,875    usw.

sehen. Immer fehlen zur 2 zuerst 1, dann kommen 0,5 hinzu, es fehlen 0,5, hinzukommt 0,25, dann fehlen 0,25, hinzukommt nur die Hälfte 0,125 ,,,

Falls wir R = 0,8 erreichen können, ist 1/(1-0,8) = 1/0,2 = 5 und aus den heutigen Zuwächsen von 20.000 werden maximal 20.000*5 =100.000 als infiziert gemeldete Fallzahlen. Mit 4 malgenommen ergibt es die Grenze 400.000. Das ist immer noch viel, aber wenig, wenn wir jeden Tag 20.000 hinzubekämen, dann wäre diese Zahl in 20 Tagen erreicht und kein Ende abzusehen. Wir können sogar ausrechnen, wann die Pandemie zu Ende ist. Dann muss 20.000*Rⁿ kleiner als 1 sein.

Für R = 0,8 muss n >= 44 sein. Mit 4 malgenommen, ist die Pandemie in weniger als 6 Monaten beendet.

Verhulst hat den Vorteil, dass es annimmt, dass R kontinuierlich kleiner wird. Unsere Schranke S wird sehr viel kleiner werden, wenn die Limitierungsmaßnahmen und die Impfungen wirken. Auch wird die Schwelle von weniger als einem Neuinfizierten pro Tag eher erreicht werden.

Insofern ist die Lockerung an Weihnachten eine Gelegenheit, die Wirkung der Restriktionen zu messen. Anfang nächsten Jahres müsste es eine circa 3- bis 5-tägige Erhöhung der Zuwächse aufgrund der Festtage geben. In den USA soll Thanksgiving im Dezember messbare Spuren hinterlassen haben.

Noch eine Überlegung zu der jetzigen Lage in Deutschland. Es sind etwas über eine Million Menschen bisher von COVID-19 genesen. Nimmt man an, dass diese immun sind und die Dunkelziffer aller Immunen doppelt so hoch ist, haben wir schon ohne die Impfung eine Herdenimmunität von 4%. Diese hat R zu 1,03 gemacht, also ist R in den Teilen der Bevölkerung, die bisher wenig Krankheitsfälle hatte, eher bei 1,07 oder größer. Sachsen ist im Frühjahr und Sommer vergleichsweise gut weggekommen und hat entsprechend weniger Immunisierte. Da das Virus derzeit überall verbreitet ist, hat Sachsen entsprechend höhere Fallzahlen.

Status heute:

Ich zeige die Fallzahlen, Zuwächse und Änderungen der Zuwächse in extrem geglätteten Kurven seit Anfang März. Jeder mache sich bitte Gedanken, wann die Beherrschung der Pandemie aus dem Ruder gelaufen ist.

Bedenkt:

1. Die Fallzahlen müssen sich asymptotisch von unten einer oberen Schranke S annähern:

Tun sie nicht!

Erkenntnis: Bis Anfang Oktober war die Lage unter Kontrolle. Seit dem November und jetzt im Dezember wurden die entscheidenden Restriktionsmaßnahmen zur Limitierung nicht getroffen, die Entwicklung ist verheerend.

2. Die Zuwächse müssen gleichmäßig exponentiell gegen 0 fallen, Zahlen ab 24. September: 

Tun sie nicht! Seit Ende November sieht es wieder nach exponentiellem Wachstum auch der Zuwächse aus. Heute war der Rekordtag mit (ungeglättet) 32.342 Neuzugängen, geglättet sind es über 27.000.

3. Die zweite Ableitung der Fallzahlen oder anders ausgedrückt, die Änderungen der Zuwächse, müssen negativ werden und sich von unten der Zeitachse t nähern:

Tut sie nicht wirklich, ganz im Gegenteil auch hier steiler Anstieg!

4. Alle Überlegungen gelten auch für die Todesfälle:

(Quelle: Martin Lindner)

Das steigt immer noch exponentiell! Oder, wie wir es besser wissen, eine Exponentialkurve ist eine ebenso gute Modellierung wie eine Verhulstkurve mit sehr großem S.

Allen Lesern meiner Kommentare zur Entwicklung der Pandemie in Deutschland wünsche ich ein frohes Fest und einen guten Rutsch ins Neue Jahr!

Über den Autor

Aus dieser Reihe zuletzt von Martin Lindner auf marktforschung.de erschienen:

• Impfung, Herdenimmunität und Reproduktionsfaktor
• Noch keine Besserung in Sicht
• Der Über-eine-Million-Club hat ein neues Mitglied

/jr