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Martins Menetekel Pandemie im Griff oder große zweite Welle?
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Ein Menetekel bezeichnet gemäß biblischer Überlieferung - in nicht immer leicht zu entschlüsselnder Weise - einen unheilverkündende Warnung oder einen Mahnruf. In dieser Tradition bietet diese Kolumne unseren mathematisch interessierten Lesern, und davon soll es in der Marktforschung ja viele geben, eine fortlaufende Analyse und Prognose der Corona-Epidemie mittels mathematischer Kurven und Formeln.
In der vorigen Woche haben wir gesehen, dass die Steigung der Fallzahlenzuwächse ständig kleiner wird.
Bei einem exponentiellen Wachstum A*b^t ist der Quotient b aber konstant. Das langsame Kleinerwerden von b drücken wir durch den Faktor (1- L*N(t)) aus, und zwar durch N’(t) = k*N(t)*(1-L*N(t)) mit b = exp(k) oder k = ln(b) und bekamen dadurch eine Prognosefunktion:
M(t) = AS/(A + S/(b^t))
S = 1/L ist dann automatisch eine obere Schranke für M(t) und damit N(t), A ist frei wählbar und dient zum Anbinden von M(t) an die geglätteten Fallzahlen.
Dazu eine Bemerkung: Jede Zeitreihe von Werten N(t) kann ich auch durch andere Funktionen approximieren, zum Beispiel Polynome in t^n. Aber wenn wir deren Koeffizienten berechnet haben, geben sie uns keine Information über den Prozess selbst.
Als Beispiel sei eine Wellenlinie genannt. Polynomapproximationen brauchen unheimlich viele Stützpunkte, um einigermaßen genau die Welle zu treffen. Nehme ich gleich Sinus- und Cosinusfunktionen mit Parametern Amplitude, Frequenz und Phase, habe ich mit wenigen Stützpunkten diese aussagekräftigen Parameter bestimmt.
Wenn ich einen Wachstumsprozess mit begrenztem Wachstum gleich so, wie wir es tun, approximiere, dann hat b direkt mit dem Reproduktionsverhalten des Virus zu tun, und S mit dem Erfolg der Einwirkungen auf eine Begrenzung dieses Wachstums.
Die Grafiken - mögliche zweite Welle und gemeldete Fallzahlen
An den beiden folgenden Grafiken können wir verfolgen, ob wir das jetzige Wachstum der Fallzahlen verringern können und damit die Pandemie im Griff haben, oder aber, ob wir eine wirklich große zweite Welle, wie in anderen Ländern geschehen, bekommen.
Zuerst die mögliche zweite Welle
S ist 90.558 und erschien mir etwas niedrig, aber die Berechnungen meiner Tabellen schlagen dieses S vor. Dann müsste der Wendepunkt bei etwas über 45.250 liegen, den haben die Fallzahlen am 25. August erreicht. An der Grafik ist das nicht unbedingt zu erkennen, auch nicht mit einen Lineal, dass die Tangente simuliert. Aber wenn man sich den Verlauf der blau gestrichelten Fallzahlen ansieht, spricht auch nichts gegen die Vermutung.
Noch vor einer Woche lag die Schätzung von S bei über 100.000. Eine gute Schätzung von S bekommen wir erst, wenn die Zeitreihe ln(N'(t) ganz gerade und über längere Zeit nach unten abfällt.
Das große Bild aller gemeldeten Fallzahlen
Wir werden anhand dieser Grafiken sehen, ob sich in den nächsten 7 Tagen blau und rot entfernen. Bleibt blau unter rot, ist es ein gutes Zeichen, entfernt sich blau nach oben, werden wir Probleme bekommen.
Über den Autor
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.
Hier geht es zu den bisherigen Beiträgen von Martin Lindner:
- Was bedeutet der Knick nach oben?
- Die drei Phasen einer Pandemie, wenn es gut geht
- Die vierte Phase der Pandemie in Deutschland
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