Martins Menetekel Eine neue Referenzkurve ist da!

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In der letzten Woche hatte ich folgende Referenzkurve nach Verhulst gezeigt. Zur Erinnerung: Die obere Schranke aller Fallzahlen lag bei dieser Referenzkurve etwas unter 4,3 Millionen gemeldeter kumulierter Fallzahlen – das wäre gut. Die Annäherung der 1. Ableitung dieser Referenzkurve an die Kurve der Fallzahlenzuwächse sah allerindgs nicht so mehr so schön aus. 

Die Referenzkurve (schwarz) hat die Gleichung: M(t) = I + AS/(A + S/b^t) = I + N(t), wobei das N(t) der Gleichung genügt:

N’(t) = kN(t)*(1-N(t)/S) und k ist ln(b) oder b = exp(k), so weit so gut und den alten Lesern bekannt.

Ich gehe auf die Bedeutung der Parameter I, A, S und b ein.

b macht die Kurve steiler, wenn b größer wird, und flacher, wenn b kleiner wird. S verbreitet die Bandbreite von 0 bis S, mit S als obere Grenze für N(t), I schiebt N(t) so hoch, weil es den Sockel für die vierte Welle ergibt. Denken Sie an Nis Randers, wo eine Welle auf den Nacken der anderen springt.

Welche Rolle spielt A?

Das habe ich eher durch Zufall herausbekommen. Eine Referenzkurve sah genau so wie die um I verminderten Fallzahlen aus, nur war sie um ca. 14 Tage nach links verschoben. Als Mathematiker denkt man sofort an eine Änderung von t durch t - 14, denn dann bekommt man die ganze Kurve nach rechts verschoben. Begründung:  t - 14 wird erst bei t = 14 zu 0, die ganze Kurve verschiebt sich nach rechts.

Aber jetzt kommt’s: Wir schreiben N(t) anders, in dem N(t) = AS/(A + S/b^t)  wir mit b^t erweitern: N(t) = SAb^t/(S + Ab^t).

Wenn ich A als Potenz von b schreibe, das geht, da b > 1 ist, so rutscht dieser Exponent dann zu b^(t+a) . Bei meinem Beispiel musste ich A um 1/3 verkleinern, dann ist a negativ und es kamen genau -14 Tage heraus.

Das werden wir in den kommenden Versionen ausnutzen.

Aber es kommt noch viel besser.

Wenn M(t) eine gute Referenzkurve der Fallzahlen F(t) sein soll, muss folgende Summe so klein wie möglich werden: Wir summieren (F(t) - M(t))^2 ( also die Differenz hoch zwei) über den von uns gewählten Zeitraum. Ich habe mich für die vier Wochen vom 19. August bis 16. September entschieden.

Aber am 5. September war der Wendepunkt!

Wir nehmen diesen Tag als t = 0 für unsere Zeitreihen. Die Summe der Quadrate geht dann von t = -17 bis t = 11 .

Bei t = 0 ist der Wendepunkt, das ist der Punkt der größten Steigung von N(t) oder das Maximum der Zuwächse N’(t) oder eine Nullstelle von N’’(t).

Wie bekommen wir das heraus? Bei den Fallzahlen können wir es ablesen, es ist in etwa der 5. September.

Was aber bedeutet das für N(t)?

Wie finden wir N’’(t) = 0 ?

N’(t) = kN(t)(1-N(t)/S) ist der Schlüssel. N’ = kN - (k/S)*N*N . Wir differenzieren auf beiden Seiten: (N’)’ = N’’ und nach der Theorie der impliziten Funktionen ist 

(N*N)’ = 2N*N’

N’’ = 0 bedeutet k*N' - (2kNN’)/S = 0 . Ich klammere kN’ aus und erhalte 1 - 2N/S = 0  und damit ist S genau doppelt so groß wie N(0).

Wenn ich mit dem I aus den vergangenen Wochen F(t) - I bilde, kann ich direkt S als doppelten Wert am Wendepunkt ablesen!

Der Wert ist 257.320, also S = 514.640 S als erste Näherung. Es kommt noch besser:

Betrachte wir N(t) = AS/(A + S/(b^t))) als Grundlösung und setzen t = 0 :

N(0) = S/2 = AS/(A + S) . da b^0 = 1 ist. Ich kann durch S teilen, mit 2 malnehmen  und erhalte 

1 = 2A/(A + S) oder A + S = 2A und damit A = S , das ist bemerkenswert und äußerst hilfreich.

Jetzt sieht N(t) so aus:  N(t) = S/(1 + 1/b^t) oder N(t) = Sb^t/(1 + b^t) nach Erweiterung mit b^t .

Wir bilden N(1) = Sb/(1 + b) und N(-1) = S/(1 + b) , bitte nachrechnen, und den Quotienten

N(1)/N(-1) = (Sb/(1 + b))/(S/(1 + b) = b  

Das bedeutet, dass wir sogar direkt aus der Fallzahlenreihe F(t) - I nur die Werte von -1, dem Tag vor dem Wendepunkt, und F(1) - I, dem Tag danach, zu kennen brauchen, und wir haben das so wichtige b als Vorschlag.

Besser geht es nicht, könnte man denken, aber es gibt noch eine Steigerung:

Mit diesen vierWerten bilden wir F(t) - N(t), summieren über diese vier Wochen und setzen I als Differenz der Durchschnitte, das ist mathematisch der beste Wert und bedeutet, dass die Punktfolgen F(t) und I + N(t) den selben Schwerpunkt besitzen.

Damit ist I , der Sockel, optimal berechnet!

Für S folgt, ähnlich wie bei der Approximation einer Geraden oder früher N’ durch eine Exponentialfunktion, dass man S direkt berechnen kann, um die Quadratsumme zu minimieren. Das ist etwas höhere Mathematik, bitte glauben Sie es mir. Damit gibt es auch ein optimales S, dass der Computer berechnet.

Damit muss ich nur noch b ein wenig ändern, um das Q in der folgenden Grafik zu minimieren.

Das ist das Ergebnis:

Q = 166.952

Wenn man b ein wenig ändert, so ändern sich ab heute alle anderen Parameter I, A und S auch ein wenig.

Für obige Zahlen gilt:

S = 514.621, I = 3.751.259 und b = 1,08677

Der Vorschlag des Computers war :

S = 514.640, I = 3.751.271 und b = 1,08491

Ist das nicht toll?

Ich erinnere an den Abstieg im Gebirge bei völliger Dunkelheit. Wenn man Pech hat, landet man nicht in der Ebene, sondern in einem hohen Seitental.

Früher musste ich gleichzeitig A, S, I und b ändern, um die Quadratsumme zu minimieren. 

Jetzt tut es b alleine, das ist echter Fortschritt!

Fazit:

Wir haben mit den simpelsten Methoden eine Verhulst-Refernzkurve gewonnen, die wir für mindestens drei Wochen festhalten und nicht mehr ändern. Bleiben die Fallzahlen darunter oder schlängeln sie sich um die schwarze Kurve, ist alles im grünen Bereich. Falls sie sich aber entscheiden, nach oben auszuweichen, müssen die Maßnahmen gegen Corona wieder verstärkt werden.

Da bin ich selber gespannt. Wir werden mit die Ersten sein, die das beurteilen können. Rein mathematisch gesehen, haben wir mit I, S und b die bestmögliche Approximation gefunden. 

Ich hoffe, dass es nicht zu starker Tobak war.

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