Martins Menetekel Die drei Phasen einer Pandemie, wenn es gut geht

Wachstumsprozesse, seien es die Vermehrung von Bakterien in einer Petrischale oder Corona-Viren in der Bevölkerung Deutschlands, laufen im Idealfall in drei Phasen ab, die unterschiedliche Modellierungen erfordern. 

Die erste Phase ist durch exponentielles oder fast exponentielles Wachstum gekennzeichnet. Sowohl die Zuwächse der Fallzahlen als diese selbst wachsen exponentiell. Phase zwei ist die Limitierungsphase durch den Limitierungsfaktor L, der die Bäume nicht in den Himmel wachsen lässt. Der Quotient zwischen den Fallzahlen aufeinanderfolgender Tage wird kleiner, die Zuwächse erreichen ein Maximum und werden dann auch absolut kleiner. Als Bild erhalten wir eine Glockenkurve. k wird durch den Faktor (1-L*N(t)) kleiner. Es gilt, aus den Fallzahlen dieses hemmende L und den Wachstumsfaktor b = exp(k) zu bestimmen. Phase drei ist eigentlich die Endphase von Phase 2 und zeigt exponentielles Abnehmen der Zuwächse der Fallzahlen und erlaubt ein einfaches Berechnen von S. 

Wachstumsprozesse (Quelle: Martin Lindner, März 2020)

Analyse der drei Phasen der Corona-Pandemie in Deutschland:

1. Phase 1: N(t) war noch sehr klein und L = 0 (oder praktisch gleich 0 im Rahmen der Fehlerrechnung) , das ergab eine Exponentialkurve M(t) = A bt , die ab Ende Januar das erste Mal die ganze Zahl 1 erreichte. Diese Phase dauerte etwa 8 Wochen und endete im ersten Drittel des Monats März. Das Virus konnte sich in Deutschland fast ungehindert ausbreiten. Mathematisch gesehen ist ln(N(t)) eine Gerade, die mit bewährten Mitteln approximiert wurde.
   
   
2. Phase 2: Dann wurden die ersten Limitierungsmaßnahmen ergriffen, der Quotient N(t)/N(t-1) wurde kleiner, das Wachstum der Zuwächse pro Tag erreichte um den 3. April sein Maximum und nahm dann stetig ab.
   
   Für diese Modellierung benötigten wir M'(t) = kM(t)(1-M(t)/S und die Lösung M(t) = AS/(A + S/bt)
   
   A, b und S waren ab Mitte April bis Ende Mai über 8 Wochen lang stabil. Es konnte über einige mathematische Tricks die ersten Abschätzungen von S gemacht werden, die zwischen 180.000 und 190.000 lagen.
   
   
3. Phase 3: Diese Phase wird durch Phase 2 mit abgedeckt, erlaubt aber eine einfachere Berechnung von A, b und S. In dieser Phase geht N'(t) rapide und stetig gegen 0, das erlaubt, N'(t) durch eine Exponentialkurve P'(t) = C ft mit f < 1 anzunähern. Das entspricht sehr genau dem Zerfallsprozess radioaktiver instabiler Isotope. 

Jetzt kommt es: Eine Stammfunktion für P'(t) ist (C/ln(f))ft . Das ist eine monoton wachsende Funktion mit negativen Werten, da ln, der natürliche Logarithmus, von Zahlen < 1 negativ ist. Aber M(t) soll die positive Zeitreihe N(t) annähern. Hier hilft die Mathematik: Auch C/(ln(f))ft + S hat dieselbe Ableitung. Es gilt S als Integrationskonstante zu bestimmen. Da ft für f < 1 mit wachsendem t gegen 0 geht, strebt M(t) gegen S.  S ist die gesuchte obere Schranke für die Fallzahlen! In dieser Phase muss nur f = N'(t)/N'(t-1) aus den Zuwächsen berechnet werden. 

Dann ist M(t) = C/(ln(f))ft + S , ist S = Mittelwert(N(t) – C/(ln(f))ft ), wenn wir  wieder M(t) durch N(t) ersetzen und mitteln. M(t) ist eine sehr gute Approximation der geglätteten Fallzahlen.

Geglättete Fallzahlen ab März (Quelle: Martin Lindner, März 2020)

Fallzahlenzuwächse ab März (Quelle: Martin Lindner, März 2020)

Die Aufhebung der Restriktionsmaßnahmen hat diese erfreuliche Entwicklung brutal gebremst. Die Fallzahlen gingen zuerst wenig, dann steil nach oben. Nun gibt es keine schöne Wachstumsfunktion, die das abbildet. Aber unsere Aufgabe ist es, die wenig erfreuliche Entwicklung gerade jetzt zu simulieren und Prognosen zu erstellen!

Folgende Überlegung führte uns zu einer Lösung in dieser Frage: Wir nehmen die Superapproximation bis Mitte Juni und extrapolieren sie bis Ende September, oder, wenn nötig, bis zum Abklingen der Pandemie. M(t) ist stets kleiner als N(t), da ja die Fallzahlen durch die Lockerungen gestiegen sind:

Unsere neuen Fallzahlen werden durch diese Differenz pro Tag gebildet: 

Nneu(t) = N(t) – M(t) wird approximiert durch Mneu(t)

Die neue Approximation der Fallzahlen ist dann M(t) + Mneu(t)

Das wird durch folgende Überlegung gerechtfertigt: Die Höhe der Fallzahlen wird bestimmt durch eine Vielzahl kleiner Ansteckungsherde. Erst die Summe erlaubt es, aus den Zufallszeitreihen vernünftige Folgerungen bezüglich Wachstumsfaktor b und obere Schranke S zu ziehen. Die alte Annäherung M(t) bildet den abklingenden Prozess der Verbreitung der Pandemie in den meisten Regionen ab, das neue Nneu(t) sammelt alles, was durch Leichtsinn oder Eintragung von Viren zusätzlich die Fallzahlen nach oben treibt.

Das neue Nneu(t) wächst derzeit noch exponentiell! Wir werden ab jetzt regelmäßig Mneu(t) berechnen und die Parameter für eine Woche konstant halten. Bei guter Approximation müssen sich die Fallzahlen um die Prognosekurve schlängeln.

Prognose Fallzahlen (Quelle: Martin Lindner, März 2020) 

Über den Autor:

Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

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