Zwei Seelen wohnen, ach, in meiner Brust!

Martins Menetekel

Wieder ist eine Konferenz der Kanzlerin, ihres Stabes und der Ministerpräsidenten mit einem Sammelsurium an Maßnahmen und Beschlüssen vorbei, und anscheinend ist keiner richtig glücklich. Martin Lindner erklärt in diesem Beitrag, weshalb die Zahlen ganz klar gegen eine Lockerung sprechen.

Martin Lindner: Zwei Seelen wohnen, ach, in meiner Brust! (Bild: SNFV GmbH)

Die Situation ist vertrackt, denn alle Zahlen sprechen gegen eine Lockerung, wenn man das Virus wirklich loswerden will. Und das sollte das Ziel sein, Null Ansteckungen pro Tag. Wir waren auf einem guten Weg:

(1) Die Fallzahlen der aktuell Infizierten ging von 390.000 Ende 2020 kontinuierlich um mehr als 4.000 pro Tag auf etwa 123.000 vor 10 Tagen zurück, toll. ABER: Seit 10 Tagen stagniert sie bei etwa 125.000, hätte aber schon bei etwa 85.000 sein müssen, sehr schlecht.

(2) Besonders informativ ist die Entwicklung von R, dem Reproduktionsfaktor, den wir als Quotient aus den Zuwächsen von heute und den Zuwächsen vor 4 Tagen berechnen. Sind FG(t) die geglätteten Fallzahlen aller Infizierten, so ist R(t) = (FG(t+4)-FG(t+3))/(FG(t)/FG(t-1)), siehe 17. Beitrag, er ist somit heute nur für die vor-vor-vorigen Tag oder früher bestimmbar. Er muss gegen 0 gehen und wird direkt durch den Immunisierungsgrad der Bevölkerung beeinflusst. Das entwickele ich gerade an einem verbesserten Modell. Die Impfquote lässt derzeit noch keinen Einfluss erkennen, im Gegenteil, R ist wieder über 1 gestiegen:

Hellblau ist die Zeitreihe für R und violett die Zeitreihe der Quotienten aus den täglichen Zuwächsen. Alle Teile der Kurve sowohl für R als auch für die täglichen Quotienten der Zuwächse über der schwarzen 1-Geraden sind extrem schlecht.

Bis Anfang Februar war R unter 0,9, das entsprach exponentiellem Abfall, aber jetzt ist auch der verspielt.

(3) Eine mögliche Entwicklung der Fallzahlen zeigt eine Referenzkurve der Zuwächse oder gleichwertig, der ersten Ableitung, an. Die muss wie die rechte Hälfte der Glockenkurve aussehen, also schön geschwungen gegen die Zeitachse konvergieren, sich anschmiegen.

Blau sind die geglätteten Zuwächse.

Seit dem 10. Februar geht es sogar leicht bergauf, statt wie rot schön nach unten zu gleiten. Und wohlgemerkt, Verhulst würde noch steiler abfallen, da sich R kontinuierlich verkleinert.

Fazit: ALLES SPRICHT GEGEN EINE LOCKERUNG!!

Ich kann alle verstehen, die das ganze Drumherum und Durcheinander leid sind, ich bin es auch. Dennoch, denkt an Kassandra, sprich Frau Merkel. Sie warnt auch jetzt, und hat bisher mit allen Warnungen Recht behalten.

Ich möchte mit einem kleinen mathematischen Schmankerl über den Unterschied Exponential- versus Verhulst-Referenzkurve enden. Die absolute Höhe der Fallzahlen hat keine große Aussagekraft, die täglichen Zuwächse bestimmen den weiteren Verlauf. Das sind die Informationsträger.

  1. Ansatz N'(t) ist eine Exponentialkurvenfunktion, dann sieht eine Stammfunktion wie -Ab^t aus mit N'(t) = a*ln(b)*b^t = kN(t) mit k = ln(b). k ist negativ und b kleiner als 1, wenn die Kurve nach rechts abfällt. Die Fallzahlen werden approximiert durch M(t) = S - Ab^t , S wird bestimmt durch das Mittel aus den Differenzen zu den tatsächlichen Fallzahlen (Quadratsummenminimierung).
    Jetzt kommt die Überraschung: Es sei für t = 0 der Wendepunkt genommen, also der 7. Januar, da ist N(0) = S - A = S/2, das wissen wir aus Verhulst, und damit A = S/2Also können wir ansetzen M(t) = S(1- b^t/2) . A diente zum Anflanschen der Referenzkurve an die tatsächlichen Fallzahlen. Hier wird sie am Wendepunkt angeflanscht.

  2. Ansatz Verhulst: M(t) = AS/(A + S/b^t) und wegen M(0) = S/2 folgtS/2 = AS/(A + S) Daraus ergibt sich A = S am Wendepunkt und M(t) schreibt sich einfacher als M(t) = S/(1+1/b^t).

Der Unterschied zum exponentiellen Ansatz ist also sehr wenig, einmal steht S(1-b^t/2) und das andere Mal S/(1+1/b^t) . Setzt man t = 0, so ergeben beide S/2 .

Wohlgemerkt ist S dasselbe S, nur die kleinen b's unterscheiden sich. Aber Verhulst erlaubt einen immer kleiner werdenden Zuwachs, eine E-Funktion kann das nicht abbilden. Spätestens beim Wirksamwerden der Immunisierung durch Impfen muss die Exponentialreferenzkurve ausgespielt haben und Verhulst regieren.

Wir werden sehen.

Über den Autor

Martin Lindner
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

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/mvw

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