Wir sind noch nicht in einer stabilen Phase!

Martins Menetekel

Nach der Erläuterung der vier Phasen der COVID-19-Pandemie in Deutschland und der Prognose von Martin Lindner, ob wir das Wachstum der Fallzahlen verringern können oder ob wir eine wirklich große zweite Welle bekommen, approximiert Lindner nachfolgend die Fallzahlen neu. Das Ergebnis seiner Annäherungen finden Sie hier.

Martin Lindner

Wir hatten gesehen, dass Wachstumsprozesse in erster Näherung durch die Gleichung 

M’(t) = kM(t) beschrieben werden, k > 0, er wächst, k < 0, er fällt exponentiell (Fallen = negatives Wachsen = exp(k) < 1). Es ist M(t) = Ab^t mit A = M(0) und b = exp(k).

Diese erste Näherung wird verbessert durch das Korrekturglied (1-LM(t)), L ist ein Limitierungsfaktor. Ohne L > 0 würde das Wachstum nie an eine obere Schranke kommen. Mit L > 0 ist S = 1/L diese Schranke.

k und L werden statistisch aus den vielen Einzelprozessen gebildet. k mag in ländlicher Umgebung kleiner sein als in Ballungsgebieten. Wo die ärztliche Versorgung schlechter ist, ist L kleiner und das quasi-exponentielle Wachstum dauert länger. Das Gesetz der großen Zahlen sagt aus, dass je mehr ähnliche Prozesse es gibt, desto besser und genauer sind k und S zu bestimmen, wenn sich der Prozess nicht in seiner Struktur ändert. Falls der Prozess stabil ist, muss ihn eine Lösung M(t) 

Wir hatten gesehen, dass die Zeitreihe von 2ln(N(t)) -ln(N’(t)) genau dort, wo sich der Prozess so verhält, eine Gerade bildet. Aus der Approximation D + kt dieser Geraden bekommen wir k und eine Integrationskonstante C = D + ln(k)  und es ist b = exp(k) und A = exp(C) . A und b benötigen wir für die Lösung M(t).

M(t) = AS/(A+S/b^t). Es ist M(o) = AS/(A+S) und limes M(t) = AS/A = S wenn t immer größer wird.

S bekommen wir aus der zweiten Geraden ln(N(t) - ln(1-N(t)/S) = C + kt. Die Zeitreihe ln(N(t) - ln(1-N(t)/S) ist nur mit einem einzigen passenden S eine Gerade, dort, wo Verhulst herrscht.

Das möchte ich an einem Beispiel erläutern:

In den 8 Wochen vom 16. April bis 11. Juni war die erste Zeitreihe eine (bis auf etwas Schlängeln) schöne Gerade. Aber auch ln(N’(t) alleine war schon eine abfallende Gerade. Das war die Phase drei!

Dann haben wir zwei Methoden der Annäherung, Verhulst mit einem S und

ln(N’(t)) = F + gt, also N’(t) = exp(F)h^t = Bh^t . 

g ist negativ und damit exp(g) < 1, N’(t) fällt wie eine Zerfallreihe eines radioaktiven Stoffes.

N(t) ist eine Stammfunktion von N’(t), die ich schreiben kann als B/ln(h)g^t . Diese Kurve ist immer negativ im 4. Quadranten, was nun? N(t) ist schließlich positiv. Hier hilft die Integrationskonstante, die ich gleich S nenne. Es ist unser N(t) = S + (B/g)g^t . Der letzte Term geht gegen 0, wenn t sehr groß wird, also ist S die obere Schranke, wie gewünscht.

So sehen beide Lösungen aus:

Martin Lindner

Links ist die Verhulstapproximation mit S = 185.076 und rechts nutzen wir die Linearität von ln(N’(t) aus. Hierbei ist S = 193.415 . Man kann sehen, dass Verhulst über eine längeren Zeitraum eine sehr gute Approximation ist. Beide Approximativen scheitern nach der Beendigung der strikten Einschränkungen zum Beispiel der Arbeitsstätten und Gastronomie. Es besteht kein Zweifel, dass die jetzige Lage zu einer Eskalation führen kann. Andere Länder machen es uns vor. Die mit Hilfe von N’(t) alleine gewonnenen Lösung ist nicht so gut, da sie eben kein L = 1/S berücksichtigt, was bei N(t) << S noch nicht zu empfehlen ist.

Zur aktuellen Lage: 

Martin Lindner

Ich bringe die neueste Approximation in dieser Findungsphase, wo noch immer Viren von außen in den Prozess eingeschleust werden und die Lockerungen ständig auf Brennpunkte der Infektion geprüft werden müssen:

Das sind die beiden Geraden oben 2ln(N(t) - ln(n’(t)) unterbrochen und unten ln(N(t)) - ln(1-N(t)/S) unterbrochen als Zeitreihen mit den beiden Geraden als Approximation.

Lösung:

Jetziger Stand einer Prognose: In Deutschland werden die Fallzahlen bis knapp unter 320.000 steigen. Ich werde diese Referenzkurve alle 7 Tage aktualisieren.

Martin Lindner

Über den Autor

Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

Hier geht es zu den bisherigen Beiträgen von Martin Lindner:

  1. Was bedeutet der Knick nach oben?
  2. Die drei Phasen einer Pandemie, wenn es gut geht
  3. Die vierte Phase der Pandemie in Deutschland
  4. Pandemie im Griff oder große zweite Welle?
  5. Stand der Pandemie in Deutschland
  6. Wie finde ich die Phasen einer Pandemie?
Veröffentlicht am: 25.09.2020

 

Kommentare (1)

  1. Martin Lindner am 30.09.2020
    Lieber Herr Wüstenfeld!

    Ich habe mich über Ihren Beitrag gefreut und werde in der nächsten Ausgabe für alle darauf eingehen. Jetzt nur:

    Mein Blog soll kein Ersatz für eine Diskussion sein, ob und wie die Daten zu interpretieren sind. Natürlich muss man die derzeitigen Fallzahlen und ihre Zuwächse in Relation zu der Anzahl der Tests setzen.

    Ich will etwas anderes: Wie kann ich einen Zufallsprozess wie die Verbreitung der Pandemie in Deutschland mathematisch beschreiben und wann kann ich welche Prognosen über ihren zukünftigen Verlauf mit welcher Gewissheit berechnen. Andere müssen die Relevanz dieser Daten in Relation zu Todesfällen oder Erkrankten mit schweren Symptomen bewerten.

    Da die Frage aber so wichtig ist, habe ich begonnen, die kumulierten Todesfälle auch zu erfassen. Ich werde die Datenreihe gleitend auf Wochenbasis glätten und das Verhältnis Zuwachs Todesfälle zu Zuwachs Fallzahlen bestimmen. Hierfür habe ich eine Vorlaufzeit von 2 Wochen gewählt. Ich setze also die Zuwächse Sterbefälle heute in Relation zu den Zuwächsen Fallzahlen vor 2 Wochen. Vielleicht sind 3 Wochen realistischer, über jeden Rat bin ich dankbar.

    Näheres die nächsten Freitage, wenn ich vernünftig glätten kann.

    Bleiben Sie gesund,

    Martin Lindner

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