Inzidenzzahlen, Reproduktionsfaktor R und b

Martins Menetekel

In seinem heutigen Beitrag geht Martin Lindner auf die Auswirkungen der Restriktionsmaßnahmen der Bundesregierung auf den Reproduktionsfaktor R ein. Zudem erläutert er, inwiefern R als Instrument für Virologen gilt, wie hoch der (mathematische) Einflussfaktor einer Impfung tatsächlich ist und an welcher Stelle der Reproduktionsfaktor seine Grenzen aufweist.

Kolumne Lindner: Inzidenzzahlen, Reproduktionsfaktor R und b (Bild: SNFV GmbH)

Bisher haben wir nur den Reproduktionsfaktor R betrachtet, weil er entscheidet, ob die Corona-Seuche noch zunimmt, R dauerhaft > 1 , ob die täglichen Zunahmen in absoluten Zahlen kleiner werden, R < 1 , oder letztendlich R gegen 0 strebt und wir echte Prognosekurven aus dem Verhulst-Modell für limitiertes Wachstum gewinnen können. Dazu habe ich die jetzigen Zuwächse auf drei verschiedene Methoden durch Exponentialfunktionen angenähert, die ich eigentlich schon heute zeigen wollte. Verhulst macht ohne Wendepunkt keinen Sinn. Für Verhulst benötige ich aber den Sockel aus den Exponentialfunktionen. Nächste Woche sehen wir mehr.

Durch das neue Gesetz über die Befugniserweiterung der Bundesregierung in der Vorgabe von Restriktionsmaßnahmen möchte ich aber lieber auf die Inzidenzahlen eingehen und noch einmal erklären, wie diese Zahlen mit R und der Basis b der Exponentialfunktionen und damit mit N'(t) zusammenhängen. Sie haben alle ihre Bedeutung.

Für die Virologen ist der Reproduktionsfaktor R am wichtigsten. Sind N'(t) die gemittelten Zuwächse der geglätteten Fallzahlen F(t), N'(t) = (F(t+1) - F(t-1))/2, so ist R(t) = N'(t+4)/N'(t). Das ist der Vorlauf, der von den wenigsten berücksichtigt wird. Wenn wir jetzt Maßnahmen ergreifen, werden deren Erfolge erst später sichtbar. Der nicht gut Informierte merkt nichts, wenn sie beschlossen und umgesetzt werden, und denkt, das bringt nichts, wenn es aber wirkt, schreit er sofort nach Lockerungen, werden diese beschlossen, gehen die Fallzahlenzuwächse tatsächlich noch einige Tage zurück, er freut sich, aber danach steigen sie wieder, und so weiter...

Vorteile von R: R ist der empirischen Forschung zugänglich. Es gibt zum Beispiel Physiker in Göttingen, die auf die Untersuchung komplexer Systeme spezialisiert sind, die das Zusammentreffen und die engeren Kontakte von Leuten untersuchen und aus diesem Verhalten Muster für die Verbreitung von SARS-CoV-2 und dessen Mutanten schließen. R ist auch eine absolute Größe. Sie gibt an, wie viele Menschen ein Infizierter im Laufe der Zeit, in der er ansteckend ist, andere infiziert. Die Ansteckungszeit beginnt, wenn er Viren absondert, geht in einer Glockenkurve höher und fällt dann auf Null ab. Danach ist er entweder gesund oder isoliert und wird behandelt. Bei jeder Seuche geht man davon aus, dass diese Gesamtzahl endlich ist, bei Masern in der Nähe von 20. Natürlich ist es ein Mittelwert aus allen Ansteckenden und kann sich ändern.

Dann kann man auch den Begriff Herdenimmunität besser verstehen. Dieser Begriff ist relativ. Wenn das Ansteckungspotential unserer Testperson aus K Kontakten besteht und er aus diesen Kontakten R ansteckt, und jetzt aber 40 Prozent immun sind, wird sein Ansteckungspotential genau um 40 Prozent kleiner und sein persönliches R sinkt auf 0,6*R. Daraus resultiert wieder ein Mittelwert.

Ich werde Ende Mai Impfschutz genießen. Dann verringert sich R unter der Annahme, dass ich immun geworden bin, um den Faktor 1 - 1/82.300.000 = 1 - 0,000 000 012 151 = 0,999 999 987 849 , das ist nicht viel.

Am 12. März war R bei 1,172, was bedeutet, dass 1000 infizierte 1172 weiter Leute angesteckt haben.

Der Nachteil von R in unseren Betrachtungen ist der Nachlauf, wir können nicht das R von heute kennen, auch nicht von gestern, vorgestern und vorvorgestern. Da wir außerdem N'(t) glätten, hinkt unser R noch zusätzlich um 4 Tage hinterher. Außerdem kann unser Wert von R vom (fiktiven) eigentlichen Wert aus den Feldversuchen und Tests abweichen, weil wir ihn nur aus den Fallzahlen der als infiziert Gemeldeten ableiten.

b und R hängen folgendermaßen zusammen: Sei Q(t) = N'(t)/N'(t-1). Dieser Quotient ist zu stark vom Tageswert N'(t) abhängig, wir nehmen das geometrische Mittel q(t) = Wurzel(Q(t+1)*Q(t)).

Dann ist R(t) = N'(t+4)/N'(t) = Q(t+4)*Q(t+3)*Q(t+2)*Q(t+1), weil sich alles in der Mitte herauskürzt.

Unser kleines q(t) ist die Basis b für die Exponentialfunktonen, entsprechen in einem Zeitraum gemittelt und geglättet.

Die Inzidenzzahlen I(t) sind dagegen ungeglättet tagesaktuell und je nach Glättung mit einer 1-2-3-Tagesverzögerung berechenbar.

Berechnung: Ich habe als Grundlage die Einwohnerzahl von 82.300.000 der Bundesrepublik genommen. Dann berechnen sich I(t) durch den Zuwachs der Fallzahlen in einer Woche, bezogen auf 100.000 Einwohner.

Hier die geglättete Kurve der letzten Wochen:

Im Vergleich die das Balkendiagramm der Zuwächse, schon mit einer exponentiellen Annäherung:

Wir sehen, dass die Inzidenzzahlen genauso aussehen wie die Zuwächse, es ist nur ein anderer Maßstab.

Im Vergleich dazu R und q(t):

Auch hier ein ähnlicher Verlauf mit ausgeprägteren Höhen und Tiefen.

Martin Lindner
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

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