Impfung, Herdenimmunität und Reproduktionsfaktor

Martins Menetekel

Auch diese Woche hält Martin Lindner die Daten noch nicht für belastbar, eine Anpassung seines Modells wäre daher redundant. Stattdessen beschäftigt sich Linder mit den Impfungen und wagt einen Ausblick auf die Wirkung und möglichen Verläufe der Impfstrategien.

Impfung, Herdenimmunität und Reproduktionsfaktor, Martin Lindner

Heute gibt es keine neue Referenzkurve, weil ich die Daten noch nicht für belastbar halte. Wir müssen abwarten, wie sich die strengeren Eindämmungsmaßnahmen auf die Limitierung der Zuwächse auswirken. Allerdings sehen alle Zeitreihen böse aus. Weltweit haben wir nach dem Iran auch Mexiko überholt, Polen ist uns auf den Fersen.

Alle Welt spricht von den beginnenden Impfaktionen. Einige erwarten Wunder, andere warnen, dass Abstandhalten und Maskentragen wichtiger sind.

Was ist der Hintergrund?

Lassen Sie mich etwas zur Impfstrategie sagen. Ich möchte erklären, warum sie wann der Pandemie den Garaus machen kann.

Der Reproduktionsfaktor R ist entscheidend. Zum Tag T sagt er aus, dass ein Infizierter im Durchschnitt R andere ansteckt. Das macht er nach meinem Kenntnisstand der Corona-Pandemie in etwa im Zeitraum von 3 bis 10 Tagen nach seiner Ansteckung. Dabei muss er nicht unbedingt Symptome zeigen. Nach dieser Zeit ist er entweder gesund, in Quarantäne oder im Krankenhaus isoliert. R ist schwer zu bestimmen, da man nicht weiß, wie viele Ansteckende es gibt. Man kann aber annehmen, dass sehr viele der als neuinfiziert in den Fallzahlen gemeldeten Personen ansteckend waren und noch sind. R ist nicht konstant und korreliert mit den Limitierungsmaßnahmen zur Pandemiebekämpfung. Es ist das Ziel aller Maßnahmen, R als Funktion R(T) auf 0 zurückzudrängen.

R > 1: sehr schlimm, die Zuwächse der Fallzahlen wachsen
R = 1: schlimm, die Zuwächse stagnieren, derzeit auf hohem Niveau über 20.000/Tag 
R < 1: besser, die Zuwächse fallen, die Pandemie wächst langsamer

lim R(T) = 0: sehr gut, falls R(T) in endlicher Zeit gleichmäßig gegen 0 fällt, die Pandemie geht ihren Ende entgegen, Modellierung der Zuwächse mit Exponentialfunktion mit Basis b < 1 .

Es gibt unterschiedliche Methoden, R(T) zu berechnen.

Ich mache folgende Annahme: Es habe eine Person vor drei Tagen Symptome von COVID-19 gezeigt, er wurde am nächsten Tag getestet, gestern positiv gemeldet und heute in den Zuwächsen Z(T) registriert. Dann war er seit 4 Tagen ansteckend und hätte somit heute R(T-4) Personen im Durchschnitt angesteckt. Da er heute das Testergebnis bekommt, wird er in Quarantäne gestellt oder in ein Krankenhaus überwiesen. Damit ist er aus dem Verkehr. Z(T-4) waren die Zuwächse von vorvorvorgestern.

Dann kann man ansetzen: R(T-4)*Z(T-4) = Z(T)

oder mit Vorlauf

R(T) = Z(T+4)/Z(T)

Über die 4 kann man streiten, es kommt mehr darauf an, die zeitliche Veränderung von R(T) zu analysieren. Die vierte Wurzel aus R ergibt in etwa den Quotienten der Zuwächse für zwei aufeinanderfolgenden Tage.

Das RKI gibt R derzeit mit R = 1 an, meine Rechnungen bestätigen das: Bei mir ist R = 1,03, gemittelt über die letzten zwei Wochen. Der höchste Wert der Corona-Pandemie war bei meinen Rechnungen bei R = 3,69, der niedrigste bisher bei 0,63, bei Masern beträgt er etwas weniger als 20.

Welche Auswirkungen hat eine Immunität bei einem Teil der Bevölkerung?

Dazu benötigen wir den Begriff der Herdenimmunität. Wenn P % der Bevölkerung gegen eine Infektion immun sind, beträgt die Herdenimmunität P in % oder ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Virus auf einen immunen Menschen trifft, p = P/100 .

Gehen wir einige Beispiele durch:

Masern: Ist die Gesamtpopulation für Masern empfänglich, ist R = 20, und die Masern verbreiten sich rasend schnell, das wissen alle Kindergärtner. Um die Masern auszurotten, muss R kleiner als 1 sein, je kleiner, desto besser. Annahme 95 Prozent aller Kinder werden geimpft und 90 Prozent sind danach immun. Bei 100 Kindern wären es ohne Impfung 2.000 Infizierte, davon sind jetzt aber 2.000*0,9 = 1.800 für den Erreger futsch. Also stecken die 100 Kinder nur noch 200 weitere an, ehe ihre Krankheit geheilt ist:

R ist auf Rneu = R*(1-p) = 20*0,1 = 2 gesunken.

Sind über 96 Prozent aller Kinder immun, so sinkt R unter 1 und der Masernausbruch ist gestoppt. Wir verstehen jetzt, warum es sogar eine Impfpflicht gegen Masern für Kinder im Kindergarten gibt. Wenn die Herdenimmunität von 96 % nicht erreichbar ist, weil es zu viele Impfmuffeleltern gibt, so muss durch sofortige Isolierung das große R gesenkt werden.

Corona-Pandemie: R = 1,03. Wenn wir so weiter machen wie bis jetzt, wachsen die Zuwächse und die Pandemie hört nicht nur nicht auf, sondern wächst solange, wie es noch Nährlösung, sprich empfängliche Menschen gibt.

Das bedeutet, dass 100 Personen in den 3 bis 10 ansteckenden Tagen 103 andere angesteckt haben und danach keine Ansteckungsgefahr von ihnen ausgeht.

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Annahme, wir schaffen es, bis Ende Februar 2021 zehn Prozent der Bevölkerung zu impfen und acht Prozent Immunität zu erreichen. Dann sinkt R auf 1,03*0,92 = 0,95, das ist kleiner als 1 und die Hoffnung beginnt. Aber 0,95 Prozent Reduktion bedeuten für einen Zerfallsprozess ein b = 0,985 und damit sinken die Zuwächse sehr, sehr langsam. Falls wir ein b = 0,9, also Rückgang der Zuwächse jeden Tag um zehn Prozent erreichen wollen, muss R = 0,9^4 sein, R = 0,66. Dafür ist eine Herdenimmunität von 34 Prozent nötig, die eine Impfquote von über 40 Prozent erfordert.

Das RKI gibt für R derzeit R = 1 an. Werden zwei Drittel der Bevölkerung geimpft und 55 Prozent immun, würde der derzeitige Reproduktionsfaktor auf 0,45 fallen und die Zerfallsrate bei b = 0,82 liegen, immer noch höher als durch hartes Lockdown erreichbar. Erreichen wir bis Ende Februar eine Impfquantität von 5.000.000 Geimpften und sind davon 4.500.000 immunisiert (das wären 5,6 Prozent der Bevölkerung) fiele R auf den neuen Wert 1,03*0,944 = 0.97 und wäre damit kleiner als 1.

Deshalb sind die Anstrengungen der Politik und der Gesundheitsämter so immens wichtig.

Wir müssen so schnell wie möglich einen hohen Anteil der Bevölkerung immunisieren und parallel dazu, weil das nicht so schnell geht, durch Abstandhalten und Maskentragen das jetzige R unter die 1 drücken. Wirken beide Maßnahmen zusammen, umso besser.

Fazit

Bei Lockdown light und Impfung bekommen wir die Pandemie in den Griff. Ohne jede Restriktionsmaßnahmen wird R wieder auf über 3,5 steigen, dann müssen über 75 Prozent gegen den Erreger SARS-CoV-2 immunisiert werden. Dazu ist eine Impfbereitschaft von über 90 Prozent notwendig. Das wird sehr lange dauern.

Die Impfung wird eines der stärksten Mittel zur Limitierung der Pandemie werden und S signifikant senken. Falls die Impfungen in großem Stil erfolgreich sind, werden die Verhulstkurven Woche für Woche ein niedrigeres S als obere Schranke anzeigen. Aus Prognosekurven werden erwünscht Referenzkurven rot, unterhalb deren sich die Fallzahlen schlängeln. Sind rund 80 Prozent immun, kann sich in Deutschland keine Epidemie mehr ausbreiten.

Über den Autor

Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

Aus dieser Reihe zuletzt von Martin Lindner auf marktforschung.de erschienen:

/sh

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