Es gibt Fortschritte!

Martins Menetekel

Wie entwickelt sich R? Seit wenigen Tagen liegt der Reproduktionsfaktor unter der 1-Schwelle. Weiterhin reflektierend gegenüber seinen Modellen und die Plausibilität seiner Daten auf den tatsächlichen Zustand prüfend, wagt Martin Lindner neue Näherungsansätze. Eines bestätigt sich weiterhin: R sinkt, umso mehr geimpft wird.

Kolumne-Lindner-es-gibt-Fortschritte-2021 (Bild: SNFV GmbH)

Tatsächlich sieht die Lage derzeit wesentlich besser aus als noch vor einer Woche. Mir ist auch die erste Referenzkurve gelungen, die die Auswirkungen des Impfens auf den Reproduktionsfaktor R(t) abbildet. Das folgt gleich.

Zuerst Wasser in den Wein: Das Sinken der Inzidenzwerte unter 130 kann ich nicht bestätigen, Sie sind unter 150, aber noch nicht weiter.

Hier die Grafik der Intidenzen:

Die erste Spalte enthält die ungeglätteten Inzidenzen ab dem 29. April, danach die Inzidenzen, berechnet aus den geglätteten Fallzahlen, danach folgt die Spalte mit den Differenzen. Sie können recht hoch sein. Die höchste ungeglättete Inzidenzzahl lag bei 184,9, noch nicht lange her am 27. April. Noch keine Entwarnung!

Wie entwickelt sich R?

Das sieht gut aus, R ist seit wenigen Tagen unter der 1-Schwelle und nähert sich der 0,86. Dieser Wert sorgt für eine Halbierung der Zuwächse alle Monate.

Wir können davon ausgehen, dass R als Funktion der Zeit t in Tagen durch die Impfquote kontinuierlich sinkt. Ist a der Quotient aus dem Zuwachs pro Tag aller zweifach Geimpften durch alle Einwohner der Republik, so gilt:

R(t) = R(1-at) , wobei das R hinter dem Gleichheitszeichen eine Konstante ist, nämlich das R zur Zeit t = 0, das ist der 8. April in unserem Modell. Optimiert habe ich für den Zeitraum 8.4. bis 29.4., für den ich alle nötigen glatten Daten habe.

Wir gehen jetzt folgendermaßen vor: 

N’(t) = k(t) N(t) ist die immer wiederkehrende Ausgleichsdifferentialgleichung bei Wachstumsprozessen. N(t) sind die um den Sockel 1.977.859 verringerten Fallzahlen. N(t) wird gesucht. Natürlich haben wir gelernt, dass eigentlich N’(t) = R(t-4)N’(t-4) ist, denn soviel Zeit benötigt das Virus im Durchschnitt, um R andere anzustecken. Aber die Annahme sorgt dennoch für eine gute Referenzkurve, wie wir sehen werden.

Gehen wir deduktiv vor, sollte für die neue Basis b(t) von N(t) = A(b^t)  gelten: b(t) = exp(k(t) .

Es geht aber einfacher.

Aus N’(t) = k(t)N(t) erhält man k(t) = N’(t)/N(t), eine Zeitreihe, die ich leicht durch eine Gerade k(t) = k - gt in erster Näherung approximieren kann. N’(t)/N(t) ist aber die Ableitung von ln(N(t) (Ableitung von ln(x) ist 1/x, dann muss man mit der inneren Ableitung N’ noch malnehmen).

Ergebnis ist 

ln(N(t) = C + kt - (g/2)(t^2) . C ist die Integrationskonstante und  kt - (g/2)(t^2) die Stammfunktion von k - gt . Aber auch k - 1/4ln(1-at) wäre integrierbar, siehe letzte Woche. Hier ist es eine Parabel zweiten Grades, die unser Wachstum beschränkt. Beide Ansätze ergeben zum Glück fast dieselbe Referenzkurve. k - gt ist die erste Näherung von  k - 1/4ln(1-at) (Taylorentwicklung).

k ist größer als Null, da N(t) monoton wächst, aber irgendwann ist k = gt und das Wachstum hört auf, spätestens dann, wenn die Nährlösung für das Virus ausgetrocknet ist, sprich alle immun sind!

Tatsächlich sind k = 1/4 ln(R) und g = a/4 in guter Näherung.

Hier die dadurch gewonnen Referenzkurve und deren Besonderheiten:

Blau sind die Fallzahlen, rot die Annäherung durch eine reine Exponentialfunktion, schwarz ist das Neue!

Unsere neue Referenzkurve hat wie Verhulst ein S als Form. Der Unterschied ist der, dass sie sich nicht asymptotisch an die obere Grenze anschmiegt, sondern bei T = k/g ein Maximum hat. Also nur bis dorthin als Modell taugt. Dieses Maximum ist etwas über 4 Millionen, genauer 4.030.868, und wird am 23. Juni erreicht. Das erscheint zu optimistisch. Wahrscheinlich muss ich spätestens, wenn sich die Imfquote vergrößert, neu justieren. Ich arbeite hier mit ersten Näherungen, die immer nur für kurze Zeiträume gelten können.

Das ist aus den jetzigen Zahlen entwickelt und etwas weniger als Kaffeesatz!

Warum doch Kaffeesatz: Die Datenmenge ist noch zu klein für seriöse Referenzen.

Das zeigt der Vergleich der Ableitungen, sprich der Zuwächse:

Ein plausibles Modell, das auch die Zuwächse gut abbildet, ist es nicht. Die tatsächlichen Zuwächse sind auch zu chaotisch mit den vielen Zacken, um sie durch "schöne" Kurven anzunähern.

Dennoch möchte ich die schwarze Kurve als neue Referenz weiter pflegen und später mit Verhulst vergleichen. Dazu muss das Maximum der Zuwächse zuverlässig hinter uns liegen.

Es sieht aber gut aus, dass es weiter 'runter geht, da kräftig geimpft wird.

Bleiben Sie alle gesund!

Martin Lindner
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

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