Die vierte Phase der Pandemie in Deutschland

Martins Menetekel

Nachdem Martin Lindner die "drei Phasen einer Pandemie, wenn es gut geht" detailliert beleuchtet hat, analysiert er im dritten Teil seiner Kolumne, die vierte Phase der Pandemie in Deutschland.

Martin Lindner über die vierte Phase der Pandemie

Wir hatten gesehen, dass der ideale Verlauf einer Pandemie durch drei Abschnitte beschrieben werden kann:

  1. exponentielles ungebremstes Wachstum: Wenn N(t) die Fallzahl zum Tag t bedeutet, so sind N(t)/N(t-1) und N'(t)/N'(t-1) konstant

  2. limitiertes Wachstum: N'(t) beschreiben eine Glockenkurve mit einem Maximum, das genau bei dem Wendepunkt der Fallzahlenkurve liegt

  3. Auslaufen der Pandemie: N'(t) strebt monoton gegen Null, die Fallzahlenkurve strebt von unten gegen die obere Schranke S = 1/L und S ist genau doppelt so groß, wie es der Wert der Fallzahlen am Wendepunkt ist

Alle drei Phasen gehorchen einer Differentialgleichung

M'(t) = k*M(t)*(1 – L*M(t))

Eine Lösung ist

M(t) = AS/(A + S/bt

mit A frei wählbar, b beschreibt das Verhalten des einzelnen Virus, das heißt seine Vermehrungseigenschaften, es ist b = exp(k), und S = 1/L die Limitierung, die von der Beeinflussung der Virenpopulation durch Eindämmungsmaßnahmen herrührt.

M(t) wurde vom belgischen Mathematiker Verhulst entdeckt und wird gerne in vielen statistischen Prozessen eingesetzt.

Der Anfang der Approximationskurve sieht aus wie ein Eishockeyschläger, dieser geht in ein langgezogenes großes S über, M'(t) ist eine wunderschöne Glockenkurve. Eine reelle Fallzahlenkurve sieht nie so schön symmetrisch aus, da in dem von uns betrachteten Fall Pandemie in Deutschland k und L immer nur für eine gewisse Zeitdauer konstant blieben.

Seit Mitte Juni haben wir den Knick nach oben. Um diesen Knick zu modellieren, haben wir diese Differenz pro Tag gebildet:

Nneu(t) = N(t) – M(t) , oder, um es leichter zu schreiben:

N(t) = Nalt(t) – M(t) und diese Kurve muss, am besten, so schnell, wie möglich, in die Phase zwei der Limitierung durch ein L übergehen.

Das letzte Mal hatten wir gesehen, dass sie gar nicht daran denkt.

Wie können wir am frühesten erfahren, ob die Limitierungsphase beginnt?

Wir verwenden zwei Strategien:

  1. Jeder kann mitmachen: Die Grafik der neuen Fallzahlen muss einen Wendepunkt erreichen. Bitte, drucken Sie die Grafik aus und simulieren Sie mit einem Lineal den Verlauf der Tangente. Sie liegt bis heute unterhalb der Kurve. Im Wendepunkt springt sie nach oben. Mathematisch gesprochen krümmt sich am Wendepunkt die Kurve vom Gegenuhrzeigersinn in den Uhrzeigersinn.

  2. Wir optimieren die Exponentialfunktion, die Kurve in rot, nicht mehr für den ganzen Zeitraum, sondern nur für die ersten drei Wochen. Dann muss die blaue Fallzahlenkurve signifikant unterhalb der roten Kurve bleiben und sich sogar stetig von ihr entfernen. Als Dauer für die Annäherung haben wir die drei Wochen vom 9. Juli bis 30. Juli gewählt. 

Mit etwas Wohlwollen ist ganz oben ein Wendepunkt in Sicht. Da die Fallzahlen neu bei 40.000 liegen, muss S größer als 80.000 sein, die Gesamtoberschranke demnach über 275.000 liegen.

Das hätte man Mitte Juni nicht erwarten können.

Andere Länder zeigen, dass obiger Wert nicht unrealistisch ist. Die reine Glockenkurve der täglichen Zuwächse hat China mit seinen brutal rigorosen Isolierungsmaßnahmen geschafft. In anderen Ländern wie den USA oder im Iran ist die zweite Welle sehr viel höher als die erste. Das ist es bei uns noch nicht, sie bleibt noch unter dem Drittel des Werts der Zuwächse um den 3. April.

Wir haben die Pandemie erst im Griff, wenn die Fallzahlen mit einer Kurve nach Verhulst mit L > 0 modelliert werden können. Wir werden es verfolgen.

Über den Autor

Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

Hier geht es zum ersten Beitrag "Was bedeutet der Knick nach oben?" und zum zweiten Beitrag von Herrn Lindner "Die drei Phasen einer Pandemie, wenn es gut geht".

cb

Veröffentlicht am: 27.08.2020

 

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