Brücken-Lockdown?!

Martins Menetekel

In seinem letzten Beitrag hat Martin Lindner erläutert, was passiert, wenn R größer 1 ist. Seine heutige Analyse zeigt allerdings, dass die derzeitige Impfquote der zweimal Geimpften zu niedrig liegt, um R dauerhaft auf unter 1 zu senken. Doch wo liegen die absoluten Grenzen, die das System noch vertragen kann? Dieser und weiterer Fragen geht der Mathematiker in seinem heutigen Beitrag nach – er selbst sei für intelligente Einschnitte, wie sie derzeit in Modellregionen durchgeführt werden.

Kolumne Lindner: Brücken-Lockdown?! (Bild: SNFV GmbH)

Derzeit wird, in Deutschland zum x.ten Male, darüber diskutiert, ob harte Einschränkungen im privaten, öffentlichen und beruflichen Alltag notwendig sind, um die Pandemie in den Griff zu bekommen. Eine Studie eines Wirtschaftsinstituts in Frankreich kommt zu dem Ergebnis, dass die Länder, die die Pandemie entschlossen bekämpft haben, finanziell am günstigsten abgeschnitten haben, sowohl für den Staat, als auch für Betriebe und Einzelpersonen. Das gilt nicht nur für China. Ich selbst bin für intelligente Einschnitte, wie sie jetzt in Modellregionen gemacht werden.

Die Wortwahl Brücken-Lockdown suggeriert, dass einige unserer Politiker schon wissen, dass die Pandemie in Bälde zu Ende geht. Danach sieht es nicht aus, wie wir gleich sehen werden.

Die letzten zwei Wochen waren für mich ganz lehrreich. Als ich im März mit der Modellierung begann, war ich überzeugt, dass in der Ausgangsgleichung N'(t) = k(t)N(t) das kleine k mit der Zeit nur kleiner werden kann.

In erster Näherung ist k für kleine Zeitabschnitte konstant und exp(k) = ek = b die Basis aller Potenzfunktionen. Eine bessere weil in N quadratische Annäherung ist N'(t) = kN(t)(1 + lN(t)) mit k und l Konstanten. Wir hatten l = -L = -1/S gesetzt, L hieß Limitierungsfaktor und sorgt dafür, dass k(1 - N(t)/S ) gegen 0 strebt. S war die obere Schranke aller Fallzahlen.

Aber b(t) kann auch wachsen, wie wir gesehen haben. Wir müssen auch l > 0 betrachten, das war das hyperexponentielle Wachstum mit einer Unendlichkeitsstelle in endlicher Zeit.

Das klingt erst einmal schrecklich, und ist es auch. Aber:

Genau, wie die Exponentialfunktion Abt nicht beliebig lange wachsen kann, da die Ressourcen zu Ende gehen, gilt das erst recht für die hyperexponentielle Funktion. Sie bewirkt nur(?), dass die Katastrophe schneller kommt.

Das will ich an einem Modell zeigen:

Durch A und B läuft das klassische langgezogene S, Verhulst mit l = -0,1, also Verhulst mit Limitierung 0,1 und S = 10.

Durch A und C geht die Exponentialfunktion mit l = 0 und grün ist die hyperexponentielle Funktion, die bei 24,16 den Pol, die Unendlichkeitsstelle, hat. Danach kippt sie ins Negative und hat auch -1/l = -10 als Asymptote. Nur gibt es keine negativen Fallzahlen.

Was bedeutet das?

Es sei die absolute Grenze, die das System noch vertragen kann, 12,5. Zum Beispiel: 12.500 Betten für intensiv zu betreuende Covid-19-Erkrankte.

Aus Vorsicht hat man S als 10 gewählt, das rote Verhulst bleibt zuverlässig darunter.

Blau aber erreicht die Schranke in weniger als 27 Tagen, grün schon nach 18 Tagen. Das ist der Unterschied. In der Realität merkt man erst nach drei bis 5 Tagen, auf welcher Kurve man sich befindet. Das kann zu kurz für eine überlegte Entscheidung, die die Katastrophe abwenden soll, sein!

Ein etwas hinkender Vergleich: Verhulst ist der Lokführer, der in einen Kopfbahnhof einfährt und rechtzeitig mit dem Bremsen beginnt, damit der Zug vor dem Gleisende zum Stehen kommt, blau gibt zwar kein Gas, bremst aber auch nicht und knallt gegen den Poller, und Herr Verstärker Grün gibt sogar noch Gas und fährt sehenden Auges gegen den Prellbock.

Die nächste Grafik ist die Anwendung auf die Pandemie in Deutschland.

Ich zeige mit gebührender Vorsicht, wie der Computer S berechnet:

b oder R wurden im Februar größer, das zeigen die negativen Werte für S ab dem  7. Februar. Die drei Zacken zeigen nur, dass der Rechner nicht entscheiden wollte, ob l nun sehr klein negativ oder positiv ist. Ab dem 20. Februar gibt es wieder eine Schranke S, die bis Anfang März fiel und jetzt wieder leicht steigt – ein sehr schlechtes Zeichen.

Was macht R? Es sieht etwas besser aus, das kann aber an Ostern liegen. Heute waren die Zuwächse wieder erschreckend hoch, weit über 24.000, aber noch ungeglättet. R kann also wieder steigen. Das letzte R lag bei 0,98, in der Grafik ist R bei 1,091, das war vor etwa 14 Tagen.

Unsere Referenzkurven verheißen noch nichts Gutes:

Blau ist leicht oberhalb der Referenzkurve!

Dasselbe gilt für Verhulst mit Schranke S = 4.341.900 Infizierte.

Die Impfquote der zweimal Geimpften liegt bei 5,7 Prozent, zu wenig, um R messbar und dauerhaft unter 0,86 zu bringen. Der Wert würde die Zuwächse der Fallzahlen alle Monate halbieren.

Warum ist das so extrem wichtig?

Was ich im letzten Jahr noch nicht wusste, war etwas, das alle Epidemiologen und Virologen befürchtet hatten. Nämlich, je mehr Viren es gibt und je zaghafter man sie bekämpft, desto größer ist die Chance, dass gefährlichere Mutationen auftauchen. Das wäre ein echter positiver Rückkopplungseffekt für ein l > 0 in der Differentialgleichung N' = kN(1 + lN) . Je mehr Viren, desto höher die Rate der Varianten, desto höher die Wahrscheinlichkeit, dass die Varianten ein höheres R haben. Genau das ist eingetreten! In Deutschland sorgte die britische Variante für das Ansteigen von R und b(t) und seit einiger Zeit gilt das auch für die USA, die ihre 4. Welle vor sich her schieben, trotz hoher Impfquote von über 18 Prozent Zweitgeimpfter. Da es in den USA viele Genesende gibt, müsste dort die Herdenimmunität schon bei über 25 Prozent liegen, das weiß aber keiner genau.

Ich habe heute meine erste Impfung mit dem BioNTech-Serum bekommen.

Über den Autor

Martin Lindner
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

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Veröffentlicht am: 09.04.2021

 

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