Anfang vom Ende?

Martins Menetekel

Die reißerische Überschrift eines aktuellen Artikels des TIME-Magazins lautet: "Omikron, der Anfang vom Ende der Pandemie?" In seiner Kolumne will Martin Lindner prüfen, ob das so stimmt.

Martins Menetekel

Wir alle kennen die Botschaften des RKI: Rekord an dem Zuwachs pro Tag an als infiziert Gemeldeten, über 200.000, und 7-Tages-Inzidenz über 1.000 .

Was bedeutet das?

  1. Die Nachverfolgung der Infizierten und deren Kontakte ist nicht mehr möglich
  2. Noch in dieser Jahreshälfte sind entweder alle in Deutschland infiziert oder von selbst oder durch Impfung immun
  3. Aus der Pandemie wird eine endemisch flackernde Normalseuche

Omikron kann tatsächlich das Ende der Pandemie bewirken, und das bei nicht allzu großen Opferzahlen.

Es könnte also sein, dass China mit seiner 0-COVID-Strategie letztendlich zwar sehr viel weniger Todesfälle hatte, aber der Immunisierungsgrad sehr klein ist. Sie müssen also viel länger wachsam sein.

Großbritannien geht diesen Weg, auch Dänemark. Deutschland geht ihn auch, nur wird es verschwiegen.

Jedenfalls haben wir seit Anfang Januar exponentielles Wachstum, dominiert durch Omikron.

Das möchte ich heute erklären.

Da die Zuwächse pro Tag noch ständig wachsen, ist der erste Ansatz eine Annäherung von N’(t) durch eine reine Exponentialfunktion B*b^t .

N’(t) ist unabhängig vom Sockel. Eine Näherung oder Modellierung ist dann gerechtfertigt, wenn N’(t)/N’(t-1) konstant ist, und zwar dann (B*b^t)/B*b^(t-1)) = b . denn B kürzt sich weg.

Die Grafik seit dem 30.12.21 bis zum 21. Januar, immer von Donnerstag bis Donnerstag, bestätigt das:

Besser geht es nicht.

Wie finde ich das B, den Normierungsfaktor.

Wir erinnern uns: Bei jeder Näherungslösung einer Zeitreihe Z(t) durch f(t) soll gelten:

Die Summe vom 30.12. bis 20.1. aller (Z(t) - f(t))^2 muss so klein wie möglich sein. Diese Quadratsumme hängt von der Zeitreihe Z(t) und von den Parametern in der Näherungsfunktion f(t) ab.

Unsere Zeitreihe ist N’(t) und die Näherungsfunktion f(t) ist Bb^t .

Summe über 22 Werte von (N’(t) - Bb^t)^2 soll minimal sein. Was bedeutet das?

Ich muss ein B finden, für das gilt: Wenn ich B etwas ändere, wird die Summe größer!

Aber das tut gerade die Ableitung nach B , die ich dann zu 0 setze: Das Minimum einer Funktion liegt bei einer Nullstelle der Variablen, hier B:

Die Ableitung von (N’(t) - Bb^t)^2 nach B ergibt 2(N’(t) - Bb^t)*(-b^t) , die als Summe = 0 sein muss, und damit ist B = Summe(N’b^t)/Summe(b^t)*(b^t) . Die 2 und das Minuszeichen kürzen sich weg.

Das macht jedes Tabellenprogramm mit links. Wir haben es berechnet, B = 29.980

Das kleine b als Basis der E-Funktion finde ich aus dem Mittelwert aller N’(t)/N’(t-1) und das war 1,06

Unsere Näherungsfunktion für N’ ist 29.980*(1,06^t) und ergibt die Grafik:

Ganz gut. Man könnte jetzt  noch b optimieren, das lohnt sich nicht, denn das exponentielle Wachstum ist immer zeitlich begrenzt.

Wie erhalte ich die Annäherung an die Fallzahlen selbst. Das waren die kumulierten gemeldeten Zuwächse pro Tag, aber geglättet. Die Tageswerte muss man glätten, wie die folgende Grafik zeigt. Man kennt vielleicht die Werte aus der Tagesschau: 

Jetzt haben wir N’(t) angenähert durch Bb^t . Eine Stammfunktion von Bb^t ist Bb^t/ln(b) , denn wenn ich (1/ln(b)Bb^t ableite, kürzt sich ln(b) weg (implizite Ableitungsregel)

ln(b) = k = 0,0602 . Das ist genau N’/N , wenn ich schon vorweg den Sockel 6.629.036 von den Fallzahlen abgezogen habe:

Der letzte Schritt:

Ich setze A = B/0,0602 = 498.392 mit den Originalwerten von B und b

Ich bilde F(t) - Ab^t als neue Zeitreihe, summiere wieder vom 30.12. bis 20.1 und bilde den Mittelwert, das ist der Sockel I, I wie Integrationskonstante, denn. mit Ab^t ist auch I + Ab^t eine Stammfunktion von N’ , bei uns ab heute:

N(t) = 6.629.036 + 498.392*(1,062^t) und so sieht das aus:

Den Sockel werden wir hoffentlich bald für die Verhulst-Annäherung verwenden dürfen, es ei denn, die Durchseuchung ist gewollt und hört erst auf, wenn die Pandemie beendet ist.

In der Endphase herrscht in jedem Fall Verhulst mit Limitierung, denn:

Wenn die Häschen auf der Wiese mehr Gras fressen, als nachwächst, wird ihre Fortpflanzungsrate garantiert kleiner!

ABER: SARS-CoV-2 kann unter Umständen noch mehr Varianten in petto haben, die alles über den Haufen werfen können. Vielleicht werden wir die Pandemie nie los und die chinesische Strategie war die bessere, weil wirksamer gegen Mutationen. Es braucht nur eine Variante, die infektiöser als Omikron ist und zu schwereren Krankheitsverläufen führt, aber gegen die die heutigen Impfstoffe nichts ausrichten, auch nicht die Immunantworten der Infizierten, die gegen die älteren Varianten gebildet wurden. Dann wäre das heutige Motto widerlegt.

Hoffen wir das Beste, lieber Leser!

Über Martin Lindner

Martin Lindner
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

Kommentare (3)

  1. Hubertus Hofkirchner (Prediki) am 31.01.2022
    Michael Schipperges vor 3 Tagen:
    "Schöner Satz: "das exponentielle Wachstum ist immer zeitlich begrenzt" - bezieht sich das nur auf Corona oder auch z.B. auf die Wirtschaft?"

    Der Satz ist bei genauer Betrachtung eher problematisch:

    1. Erstens ist das Corona -Wachstum nicht "exponentiell". Es ist bei (etwas) genauerer Betrachtungsweise sigmoid, denn je mehr Coronafääle, desto weniger nicht-immunisierte Personen findet das Virus noch, wodurch das Wachstum dann rasch wieder abfällt. Am Prognosemarkt muss man ganz genau sein, und die richtige Bezeichnung ist dann "sinusoid" ist, denn die Immunität geht auch wieder verloren und die nächste Welle beginnt. Aber nur mit dieser Betrachtungsweise kommt man zum richtigen Ergebnis in der Beurteilung der Lage und in der Massnahmenplanung.

    2. Der Zusammenhang mit dem Wachstum der Wirtschaft trügt auf umgekehrte Weise. Zumindest für Marktforscher, die im Innovationsbereich tätig sind, sollte ganz klar sein: Ein exponentielles Wachstum der Wirtschaft ist normal bzw. die logische Folge, solange der erfinderische Menschengeist Neues produziert und sich dadurch die Produktivität erhöht. Auch der Gedankenirrtum aus dem agrarischem und industriellem Zeitalter, dass Rohstoffknappheit das exponentielle Wachstum begrenze, ist im nunmehr digitalen Zeitalter ganz klar als völlig falsch erkennbar.
  2. Martin Lindner am 28.01.2022
    Herr Schipperges fragte, ob sich die Aussage, "das exponentielle Wachstum immer zeitlich begrenzt ist" nur auf Corona oder auch auf zum Beispiel die Wirtschaft bezieht.

    Das ist eine sehr interessante Frage, auf die ich auch keine klare Antwort habe. Gehen wir das Problem etwas allgemeiner an. Wir nehmen an, dass ein realer Prozess in der Natur, der Wirtschaft oder sonstwo einen messbaren Output hat, der durch eine exponentielle Funktion beschreibbar ist. Diese hat als Basis ein b aus den reellen Zahlen. Bei b = 1 ist der Prozess konstant und uninteressant. Ist b < 1, so sinken die Funktionswerte, ein typischer Prozess ist der Zerfall radioaktiver Elemente, gemessen und angenähert wird die Strahlung, oder die Abkühlung eines warmen Körpers bei kälterer Außentemperatur. Also ist b in unserem Fall eine Zahl echt größer als 1 . Dann wird bei beliebigem Anfangswert A (> 0) die Funktion Ab^t beliebig groß, sie wächst über jede angebbare Zahl hinaus.

    Wenn also der Prozess Ressourcen erfordert oder verbraucht, die mit steigendem Output auch unbegrenzt wachsen, aber nur in endlichem Mengen zur Verfügung stehen, kann der Prozess zum Stillstand kommen.

    Jetzt kommt der Pferdefuß: Aus der Diskussion von Verhulst wissen wir, dass es dauernd wachsende Funktionen gibt, die aber immer kleineres Wachstum haben und asymptotisch einer endlichen Obergrenze zustreben. Ein solcher Prozess könnte beliebig lange laufen, ohne seine Ressourcen aufzubrauchen.

    Mir fallen zur Zeit keine Prozesse ein, die diese sehr spezielle Anforderung erfüllen. Bei den allermeisten Prozessen werden Ressourcenverbrauch oder Menge des Outputs jeden Rahmen sprengen und den Prozess deshalb beenden.

    Vielleicht wächst das Gesamtwissen der Menschheit exponentiell, und die Speicherung und Verteilung wächst exponentiell mit. Dann ist von vornherein keine Grenze dieses Prozesses erkennbar.

    Sie sehen, dass ich mich um die Verwendung des Wortes "unendlich" gedrückt habe. In der Mathematik benutzen wir gerne die Aussage "beliebig groß", weil sie konstruktiv ist. Beispiel: Der Kiesabbau hört spätestens dann auf, wenn der gesamte Kiesvorrat weg ist.
  3. Michael Schipperges am 28.01.2022
    Schöner Satz: "das exponentielle Wachstum ist immer zeitlich begrenzt" - bezieht sich das nur auf Corona oder auch z.B. auf die Wirtschaft?

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