Abstieg nachts im Gebirge

Martins Menetekel

Was hat ein Abstieg im Gebirge mit der Pandemie zu tun? Martin Lindner wagt sich in diesem Beitrag an die Auswertung der kumulierten Fallzahlen und bildet eine Referenzkurve für die nächsten Wochen. Wie sieht es aus mit einer vierten Welle und ab wann scheinen wir "über dem Berg" zu sein?

Beitragsbild von Martin Lindner zu "Abstieg nachts im Gebirge" (Bildquelle: Lindner)

Was um alles in der Welt hat ein Abstieg im Gebirge mit der Seuche zu tun?

Die Antwort werden wir gleich sehen.

Nur vorweg: Er hat nichts mit der Pandemie zu tun, wohl aber mit der Auswertung der kumulierten Fallzahlen.

Letze Woche war der Zuwachs am Donnerstag sehr hoch. Ich verwende für meine Berechnungen die Zahlen der Johns Hopkins University, sie stimmen mehr oder weniger mit denen vom RKI überein oder haben einen Vorlauf von ein bis zwei Tagen. Zum Glück kommt es darauf nicht an, nur der Trend der Zahlenreihe ist wichtig.

Da ist heute wieder alles im Lot. Deswegen habe ich mich an die Referenzkurve gewagt.

Das Problem: Wie hoch ist der Sockel I,  den ich von den Fallzahlen F(t) abziehen muss, damit die Verhulst-Gleichung  N’(t) = kN(t)(1- N(t)/S)  Sinn macht.

N(t) = F(t) - I und N’(t) = F’(t)

Die Fallzahlen bilden in drei großen Kaskaden die erste Welle im Frühjahr 2020, die zweite von Oktober bis Februar 2021 und die dritte Welle ab März 2021 ab. Das kann keine Annäherung in einer Funktion abbilden, Verhulst ist immer ein mehr oder weniger lang gestrecktes S ohne Kaskaden. Es gilt also Verhulst für die dritte Welle zu finden.

Zur Erinnerung: Alle Fallzahlen ab März 2020

Wenn ich diesen Sockel I hätte, bekomme ich aus der Geradengleichung: 2ln(N(t)) - ln(N’(t)) = C -ln(k) + kt. A = exp(C) und b = exp(k) den Ansatz N(t) = AS/(A + S/b^t)) . Ich löse ihn nach S auf: S = A/(A/N(t) - 1/b^t) und erhalte S als Durchschnitt aller dieser S, wenn t im Optimierungszeitraum, bei mir derzeit vom 22. April bis 20. Mai, alle Werte durchläuft.

Um dieses I zu finden, habe ich es von 0 bis 3.250.000 variieren lassen. Hier das Ergebnis:

Man kann sehen, dass der Unterschied gar nicht so groß ist. Sockel I plus Schranke S sind maximal etwas über 4, 2 Millionen, aber da die Fallzahlen schon über 3.674.000 sind, sind die Werte für I ab 3 Millionen garantiert falsch.

Welcher Wert kommt dem "richtigen" am nächsten?

Wir erinnern uns: Habe ich als Zeitpunkt t = 0 den Wendepunkt gewählt, ist N(0) = S/2 und A = S. Der Wendepunkt der Fallzahlen entspricht dem Maximum der Zuwächse oder der Nullstelle der zweiten Ableitung. Das ist der Schlüssel zur Lösung:

Der Wendepunkt war am 22. April.

Ich habe I so gewählt, dass angenähert A = S ist. Das gilt für I = 2.750.000 mit A = 1.013.597 und S = 1.018.911. Hier wird S nur durch N(t), N’(t) und N’’(t) abgeschätzt. Das geht so:

N’(t) = k N(t) (1- N(t)/S) teile ich durch  N(t) (1- N(t)/S) und erhalte

N’(t)/(N(t) (1- N(t)/S) ) = k . Durch einmal Ableiten fällt k als Konstante weg und man kann nach S auflösen. 

Mit diesen I, A und b wird danach das neue verbesserte S bestimmt. Das sind die Ausgangsparameter der endgültigen Verhulstfunktion.

Und jetzt kommt der Abstieg nachts ohne Licht im Gebirge

Sei M(t) diese Referenzfunktion. Sie soll die Summe über alle Quadrate von F(t) - M(t) im Zeitraum vom 22. April bis 20. Mai minimieren. Da N’(t) die Schwachstelle ist, muss ich alle durch N’ gewonnenen Parameter nachjustieren. Das sind aber alle vier I, A, b und S. 

Wenn ich I ein wenig ändere, wird die Summe minimal, aber das ändert sich wieder, wenn ich danach A oder b oder S ändere.

Wie gehe ich im Gebirge vor, wenn ich einen Weg ins Tal will?  Eine Strategie ist es, immer den steilsten Abstieg zu wählen, aber das muss nicht zum Erfolg führen. Unter Umständen lande ich in einem Seitental, das aber eine Sackgasse ist, und nicht im tiefsten Punkt, der nach außen führt.

Aufgabe

Wie ändere ich gleichzeitig I, A, b und S so, dass obere Quadratsumme minimal ist, ohne im Seitental zu landen. Dazu müsste man obere Summe nach den Parametern I, A, b und S ableiten und das dann Null setzen. Bei Geraden oder reinen Exponentialfunktionen geht es, bei Verhulst leider nicht.

Hier mein erstes Ergebnis, das einigermaßen schön aussieht:

Blau: Kumulierte Fallzahlen | Schwarz: Referenzkurve nach Verhulst

Die Zahl unter Q ist die normierte Quadratsumme, hier 1,3743. Vielleicht gibt es vier andere Werte für I, A, b und S, wo dieser Wert noch einen Tick kleiner ist. Ich weiß es nicht.

Diese Kurve möchte ich als erste Referenzkurve für, wenn es Sinn macht, einige Wochen fest halten. 

Folgerung: Unsere Fallzahlen haben als oberste Schranke 3.735.600 , es ist also noch mit rund 65.000 Neuinfizierten zu rechnen. Das erscheint wenig, aber die letzten Zuwächse tendieren stark gegen 4.000 und weniger pro Tag, geglättet auf 7-Tages-Basis. Da die Zuwächse immer kleiner werden, könnte Ende Juni Schluss sein.

Die Inzidenzzahlen werden auch rapide kleiner

Wenn man den Abhang bis zur Null verlängert, haben wir Mitte Juni.

Fazit

Wenn die jetzigen Aufhebungen der Corona-Eindämmungsmaßnahmen nicht wieder alles kaputt machen, sollten die Inzidenzzahlen und damit R in drei Wochen so niedrig sein, dass eine vierte Welle ausgeschlossen werden kann, die Seuche läuft aus.

Wenn sich die Fallzahlen von der  schwarzen Referenzkurve nach oben entfernen, haben wir Fehler gemacht.

Ich meine immer noch, dass wir es uns nicht leisten können, die Fehler vom letzten Oktober zu wiederholen. Wir können uns, da bin ich mit Frau Merkel einig, noch eher drei harte Wochen "Lockdown"  als eine vierte Welle leisten.

Ein wenig Kaffeesatz ist immer noch dabei, wie ein Vergleich der 1. und 2. Ableitungen zeigt.

1. Ableitung

2. Ableitung, das Sorgenkind

Bleiben Sie gesund!

 

Über den Autor

Martin Lindner
Martin Lindner ist promovierter und habilitierter Mathematikprofessor im Ruhestand und beschäftigt sich intensiv mit nachhaltiger Wirtschaft und der Zukunftsfähigkeit unserer heutigen Lebensformen. Zusätzlich hat er eine Ausbildung und auch Berufserfahrung in Wirtschaftsmediation.

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/mvw

Kommentare (1)

  1. Statist am 28.05.2021
    Es wäre sehr wünschenswer,t wenn der "Abstieg bei Nacht (also Dunkelheit) im Gebirge" ohne weitere Zwischenfälle verläuft respektive die Funktion im "Nirvana" endet. Was aber, wenn alles nur ein statistischer Trugschluss bzw. eine Fehlinterpretation der Daten ist, welche dadurch entsteht, dass einfach die Inzidenzen (auf Basis der gemessenen Zahlen (gemeldete positive "Cases") und Zahl der PCR-laborverifizierten Tests zwar auf einem gewissen Level bleibt aber über die wirklichen Fallzahlen nicht wirklich etwas aussagt. Eine Ursache könnte der Anstieg der Schnelltests sein, wobei nicht in allen Fällen gesichert ist, dass positive Schnelltests durch einen PCR-Test überprüft werden. Auch melden längst nicht alle Labore konsequent ihre Testergebnisse an das RKI. Die Anzahl der dem RKI gemeldeten (PCR-)Tests Deutschland etwa 160.000 /day ist außerdem im Vergleich zu Frankreich (z.Z. ca. 300.000/day) verhältnismäßig niedrig. Die Gleichung weniger (PCR-)Tests = weniger entdeckte Fälle scheint eine mögliche Erklärung zu sein. Denn nur die PCR Tests werden vom RKI erfasst.
    vgl. auch:
    https://ourworldindata.org/coronavirus-data?country=~DEU
    Und da haben wir über die immer noch große statitische Unbekannte "Dunkelziffer" der unerkannten Corona-positiven Mitbürger nicht gesprochen. Soviel zum Thema "Dunkelheit".

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